ДОКУМЕНТ №1: Статья Хальберга

К вопросу о некеплеровской стабилизации орбиты 𝛼 Aquarii III

Р. В. Хальберг

Институт небесной механики, Уппсала

Acta Mechanica Caelestis, т. 14, fasc. 3

Аннотация

На основании наблюдательного материала, относящегося к системе 𝛼 Водолея, рассматривается движение объекта 𝛼 Aquarii III по внешней циркумбинарной орбите. Секулярное интегрирование при параметрах, выводимых из наблюдений, даёт для времени вековой устойчивости орбиты оценку, на два порядка меньшую, чем изохронный возраст системы. Для согласования этих величин рассматривается гипотеза переменного квадрупольного момента объекта, допускающего частичную компенсацию внешней возмущающей функции1. Показано, однако, что подобная компенсация влечет за собой термодинамические следствия, не совместимые с наблюдаемым тепловым режимом поверхности. Вследствие этого вопрос сводится к определению таких распределений плотности, вязкости и тензора инерции, при которых компенсация возмущений не сопровождалась бы недопустимой диссипацией.

§ 1. Данные наблюдений

Система $\alpha$ Водолея2 представляет собою тесную двойную звезду главной последовательности; расстояние между компонентами составляет, по данным оптической интерферометрии,

\[a_{bin} \approx 0{,}8 \text{ а.е.}\]

Наличие третьей массы в системе в настоящее время может считаться надежно установленным. По совокупности фотометрических и динамических признаков она должна быть отнесена к объектам субюпитерианского класса. Для $\alpha$ Aquarii III получены следующие орбитальные элементы: большая полуось

\[a_p \approx 1{,}9 \text{ а.е.}\]

и эксцентриситет

\[e < 0{,}05.\]

Изохронный возраст системы, определенный обычным способом, составляет приблизительно

\[1{,}2 \times 10^9 \text{ лет}.\]

Приведенные величины, взятые сами по себе, не выходят за пределы обычного. Их сопоставление с результатами численного интегрирования приводит, однако, к обстоятельству, требующему специального разбора.

§ 2. О секулярной устойчивости

При рассмотрении $\alpha$ Aquarii III в рамках ограниченной задачи трех тел необходимо считаться с тем, что возмущающее действие обеих центральных масс не сводится к простой периодической поправке. Неравенство масс компонент влечет за собою наличие секулярного члена, вследствие которого малые отклонения орбитальных элементов не уничтожаются при усреднении по периоду, но накапливаются.

Численное интегрирование показывает, что в пределах допустимого диапазона начальных условий эксцентриситет орбиты испытывает медленный рост. Для параметров, отвечающих наблюдению, характерное время выхода за пределы устойчивости не превосходит

\[10^7 \text{ лет}.\]

Тем самым получается величина, несовместимая с возрастом системы. Ссылка на возможную неполноту усреднения или на недоучёт высших членов разложения возмущающей функции не изменяет этого вывода3. Если ограничиться квазикеплеровским рассмотрением, $\alpha$ Aquarii III не может сохранять наблюдаемую орбитальную конфигурацию на протяжении интервала, сопоставимого с изохронной оценкой. Расчетное время разрушения орбиты, казалось бы, блестяще подтверждает классическую гипотезу Гамова-Шепли о динамически неблагоприятных условиях существования стабильных планетных орбит в тесных двойных системах. Однако непреложный факт физического присутствия планеты на данной орбите требует поиска иных, нетривиальных механизмов стабилизации.

§ 3. О переменном квадрупольном моменте

Из анализа транзитных рядов и астрометрических поправок к положению апсидальной линии следует, что смещение аргумента перицентра не носит характера свободной прецессии. Его ход обнаруживает устойчивую связь с внешней возмущающей функцией; в первом приближении эта связь может быть охарактеризована как антикоррелированная.

При таком положении дела представляется допустимым рассмотреть гипотезу переменного квадрупольного момента объекта, то есть переменного коэффициента $J_2$. Тогда в уравнения движения входит дополнительный член, который при надлежащем фазовом соотношении может уменьшать секулярное накопление возмущений. Речь идёт, следовательно, не о «стабильности» в обычном смысле слова, а лишь о частичной динамической самокомпенсации; терминологическое смешение этих понятий в предшествующей литературе нередко вело к недоразумениям4.

Физический смысл подобной гипотезы заключается в перераспределении масс внутри объекта. Детальное строение соответствующих внутренних перемещений здесь не рассматривается; для настоящей цели достаточно отметить, что при любом мыслимом механизме вопрос должен быть поставлен не только в форме динамической, но и в форме энергетической.

§ 4. Термодинамическое условие

Если изменение $J_2$ имеет величину, достаточную для орбитальной компенсации, то связанное с ним перераспределение масс должно происходить с конечной скоростью в среде, обладающей вязкостью. Отсюда непосредственно следует наличие диссипации. Поэтому наряду с условием динамической осуществимости должно быть рассмотрено условие теплового баланса.

В первом приближении имеем:

\[\frac{dE_{heat}}{dt} = \iiint_V \eta \Phi(\mathbf{v}) dV \ge M_p \left| \frac{\partial R}{\partial \omega} \dot{\omega} \right|\]

где $\eta$ означает эффективную динамическую вязкость внутренних слоёв, $\Phi(\mathbf{v}) = \tfrac{1}{2}\left(\nabla \mathbf{v}+(\nabla \mathbf{v})^T\right):\left(\nabla \mathbf{v}+(\nabla \mathbf{v})^T\right)$ — функцию диссипации Рэлея, $M_p$ — массу объекта, $R$ — возмущающую функцию, $\omega$ — аргумент перицентра, $\dot{\omega}$ — наблюдаемую скорость его прецессии.

Правая часть определяет минимальную работу, необходимую для компенсации внешнего гравитационного возмущения; левая — соответствующее ей тепловыделение. Подстановка значений, достаточных для обеспечения секулярной устойчивости на интервале порядка $10^9$ лет, приводит к мощности внутреннего трения, при которой наружные слои объекта не могли бы сохранять наблюдаемый температурный режим.

Между тем по данным инфракрасной фотометрии для $\alpha$ Aquarii III получено

\[T_{eff} \approx 290 \text{ K}.\]

При этих условиях простейшая форма гипотезы переменного $J_2$ должна быть признана неудовлетворительной.

§ 5. Заключение

Полученное противоречие имеет двоякий характер. При отсутствии внутренней компенсации орбитальная конфигурация $\alpha$ Aquarii III не обладает долговечностью, требуемой возрастом системы. Неопределённость самой изохронной оценки, сколь бы существенной она ни была, не устраняет затруднения, поскольку расхождение сохраняется на уровне двух порядков5. При наличии же компенсации в её непосредственной гидродинамической форме возникает тепловой эффект, не согласующийся с наблюдением.

Вследствие этого вопрос о $\alpha$ Aquarii III не может считаться исчерпанным ни обычным секулярным рассмотрением, ни простым допущением внутренней подвижности масс. Вопрос о существовании таких распределений плотности, вязкости и тензора инерции, при которых частичная компенсация внешней возмущающей функции была бы достижима без термодинамически недопустимой диссипации, остаётся открытым.

  1. Само по себе предположение о переменном квадрупольном моменте для тел субзвёздной массы не ново; однако в известных работах оно вводилось, как правило, лишь для описания апсидальной прецессии и приливной эволюции, но не как механизм долговременной секулярной компенсации. ↩

  2. Не путать с яркой звездой Садальмелик. ↩

  3. Попытки устранить указанное расхождение путём включения членов третьего и четвёртого порядка по отношению $a_{bin}/a_p$ предпринимались неоднократно; они несколько сдвигают границу устойчивости, но не меняют её порядка величины. ↩

  4. В ряде работ оба понятия фактически отождествляются, хотя первое относится к спектру малых возмущений, тогда как второе — к фазово-зависимому подавлению их накопления. ↩

  5. Даже при принятии минимальных оценок возраста, обсуждавшихся в связи с фотометрической аномалией вторичного компонента, характерное время разрушения орбитальной конфигурации остаётся недостаточным. ↩



ДОКУМЕНТ №2: Реконструкция событий в Уппсальском институте

Отто Зандеру было скучно.

Когда профессор Хальберг переслал ему параметры орбиты $\alpha$ Aquarii III, сопроводив их запиской: «Прошу смоделировать тензор инерции для жидкого ядра», Зандер принял это поручение за отложенное последствие своего неудачного выступления в Гёттингене.

Задача выглядела трудоёмкой, но неинтересной. Хальберг исходил из предположения, что объект удерживается на орбите за счёт медленных внутренних смещений тяжёлой массы. Это было старомодно, однако не бессмысленно: планета в тесной двойной системе не распадалась, не выбрасывалась и не падала на звезду, хотя расчёт почти настойчиво требовал одного из этих исходов.

Зандер ввёл начальные условия: массу объекта, радиус литосферы, плотность предполагаемого ферроникелевого расплава, оценочную вязкость мантии. После этого он запустил итерационный алгоритм, который должен был определить амплитуду внутреннего перераспределения массы, достаточную для компенсации резонансных возмущений.

Через четыре часа машина остановилась с сообщением о термодинамической недопустимости модели.

Зандер открыл логи. Результат был вполне определённым. Чтобы жидкое ядро успевало перераспределяться с нужной скоростью, преодолевая вязкость окружающих слоёв, мощность диссипации должна была достигать порядка $10^{22}$ Дж/с. При таких значениях силикатная кора расплавилась бы за несколько орбитальных циклов, а температура поверхности поднялась бы примерно до 3850 K. Вместо тёмного планетного тела наблюдатели должны были бы видеть объект, заметный в инфракрасном диапазоне сильнее коричневого карлика.

Но данные Ла-Сильи показывали совсем другое: температуру около 290 K, низкое альбедо и отсутствие каких-либо признаков экстремальной геологической активности.

От гипотезы жидкого ядра приходилось отказаться.

Зандер потянулся за сигаретой, обнаружил, что в пепельнице уже тлеет забытая, и закурил вторую. У задачи, однако, оставался один свободный параметр: радиус распределения подвижной массы. Если внутреннее трение делало модель невозможной, следовало уменьшить плотность рабочего тела и одновременно увеличить плечо действия.

Он начал последовательно выносить эффективную подвижную массу к периферии модели. Сперва задал мантии параметры сверхпластичности. Это понизило тепловыделение, но недостаточно. Тогда он продолжил увеличивать радиус, не особенно заботясь о геофизической правдоподобности промежуточных шагов. Результат не мог соответствовать никакому известному типу планетного тела, но Зандер к этому моменту уже не подбирал модель — он искал границу, при которой интегратор перестанет отказывать. В какой-то момент стало ясно, что для получения наблюдаемого теплового режима подвижная компонента должна быть вынесена к самой внешней границе тела.

Зандер удалил из модели твёрдую поверхность как существенный фактор и заменил её непрерывной низковязкой оболочкой, плотность которой была близка к плотности коллоидного раствора. Тяжёлое ядро при этом оставалось практически неподвижным; менялось лишь распределение внешней массы.

Он нажал ввод.

На этот раз интегратор сошёлся. Термодинамика перестала возражать. Температура поверхности стабилизировалась на отметке 288 K. Модель допускала существование каменного ядра, окружённого текучей оболочкой неизвестного состава, которая в критические моменты образовывала поверхностные утолщения и тем самым изменяла квадрупольный момент настолько, чтобы компенсировать возмущения орбиты.

Зандер откинулся на спинку кресла. Получалось странно, но не абсурдно. По крайней мере, числа впервые не противоречили наблюдению.

Он сделал несколько пометок и перешёл к верификации.

Среди материалов, присланных Хальбергом, находился массив сырой астрометрии из Ла-Сильи — поминутная фиксация малых орбитальных отклонений $\alpha$ Aquarii III за последние два года. Зандер составил короткую корреляционную программу. Замысел был самым простым: сопоставить эмпирически восстановленную функцию изменения квадрупольного момента с расчётной функцией внешнего гравитационного возмущения.

На экране терминала появились две кривые.

Верхняя, изломанная, соответствовала суммарному гравитационному стрессу системы. Нижняя, более плавная, описывала изменение эффективного $J_2$, то есть поведение той самой внешней оболочки, существование которой только что допустила модель.

Зандер взял линейку и приложил её к экрану. Требовалось измерить фазовый сдвиг между двумя графиками.

Сдвиг был почти образцовым.

Между острым максимумом возмущения и пологим максимумом компенсирующей деформации сохранялась чёткая дистанция. Получалась именно та картина, на которую он и рассчитывал: вязкая среда не может реагировать мгновенно, ей требуется время, чтобы перераспределить массу.

Всё выглядело так, как и должно было выглядеть в правильно устроенной гидродинамической модели.

Зандер положил линейку на стол и допил остывший кофе. Его взгляд скользнул по оси абсцисс.

Максимум гравитационного возмущения находился на отметке:

\[t = 4120{,}5 \text{ с}\]

Максимум компенсирующего сдвига оболочки — на отметке:

\[t = 4076{,}1 \text{ с}\]

Второй пик располагался левее первого.

Зандер открыл консоль и ввёл формулу разности. Машина ответила сразу:

\[\Delta t = -44{,}4 \text{ с}\]

Он перешёл к следующему орбитальному кризису. Там опережение составляло уже 114 секунд. На следующем — 203.

Зандер выделил тысячу циклов и построил отдельный график. Отрицательная дельта не была постоянной. Её величина менялась систематически и, как вскоре выяснилось, зависела не от текущей, а от будущей сложности конфигурации: чем сложнее оказывалась топология грядущего гравитационного резонанса, тем раньше начиналось перераспределение массы.

Зандер некоторое время не двигался. Потом заметил, что обе сигареты в пепельнице давно погасли, и закурил третью.

Он проверил нуль времени. Проверил привязку шкал. Повторил корреляцию на укороченных рядах. Исключил несколько участков данных и заново провёл нормировку. Результат не изменился.

Это означало, что компенсирующая деформация не следовала за возмущением и не совпадала с ним по времени. Она определялась возмущением, которое ещё не наступило.

Такой результат исключал истолкование наблюдаемого эффекта в рамках пассивной гидродинамики. Что бы ни представляла собою внешняя оболочка $\alpha$ Aquarii III, её поведение определялось не текущим, а будущим состоянием системы.

Принтер начал выбрасывать на бумагу столбцы чисел с отрицательными значениями времени реакции.

Зандер смотрел, как складывается гармошкой распечатка. Затем взял красный маркер. Хальберг просил рассчитать планету с жидким ядром; вместо этого получалось тело, которое не укладывалось ни в один из стандартных классификационных типов.

Зандер вывел на обложке папки служебный идентификатор:

$\alpha$ Aquarii III

Ниже, в графе, отведённой для рабочего названия, он вписал обозначение, присвоенное объекту в каталоге Ла-Сильи:

Солярис.